2.1.

Пусть Р, Q и R — определенные следующим образом высказывания:

Р: Я умираю от жажды.

Q: Мой стакан пуст.

R: Сейчас три часа.

Запишите каждое из следующих высказываний как логическое выражение, включающее Р, Q и R.

(а) Я умираю от жажды и мой стакан не пуст.

 (б) Сейчас три часа, а я умираю от жажды.

 (в) Если сейчас три часа, то я умираю от жажды.

 (г) Если я умираю от жажды, то мой стакан пуст.

 (д) Если я не умираю от жажды, то мой стакан не пуст.

2.2.

Обозначим через Р высказывание: «розы красные», а через Q — «фиалки синие». Запишите каждое из следующих высказываний:

(а) если розы не красные, то фиалки не синие;

 (б) розы красные или фиалки не синие;

 (в) либо розы красные, либо фиалки синие (но не одновременно)

как логическое выражение.

Используя таблицы истинности, докажите логическую эквивалентность высказываний (а) и (б).

2.3.

Составные высказывания, принимающие истинные значения при любых истинностных значениях своих компонент, называются тавтологиями. С помощью таблиц истинности найдите тавтологии среди следующих высказываний:

(а) не (Р и (не Р));

(б) Р => (не Р);

(в) (P и (P=>Q)) => Q,

2.4.

Покажите, что высказывание (P => Q) => R логически эквивалентно высказыванию ((не Р) => R) и (Q =>R).

2.5.

Обозначим через х слово «кошка», а через Р(х) предикат «у х есть усы». Запишите каждое из высказываний в символьной форме:

(а) усы есть у всех кошек;

 (б) найдется кошка без усов;

 (в) не бывает кошек с усами.

Запишите отрицание высказывания (б) в символьной форме,

а отрицание высказывания (в) запишите как символами, так и словами.

2.6.

Пусть Р (х) означает «х высокий», а Q(x) —«х толстый», где X —какой-то человек. Прочитайте высказывание:

Ɐ x (P(x) и Q(x))

Найдите его отрицание среди следующих утверждений:

(а) найдется некто короткий и толстый;

(б) нет никого высокого и худого;

(в) найдется некто короткий или худой.

2.7.

(а) Прямым рассуждением докажите истинность высказывания:

n и m — четные числа => n + m— число четное.

 (б) Дайте обратное доказательство высказывания:

n² — четное число => n — четное.

 (в) Методом «от противного» докажите, что

n + m — нечетное число => одно из слагаемых является четным, а другое— нечетным.

2.8.

Докажите каждое из высказываний методом математической индукции.

(а ) 1 + 5 + 9 + … + (4n – 3) = n(2n - 1) для всех натуральных чисел n.

(б) 1² + 2² + … + n² = (1/6)n(n+1)(2n+1) для всех натуральных чисел n.

(в) (1/(1*3) + 1/(3*5) + … 1/((2n-1)*(2n+1)) = n/(2n+1) для всех натуральных чисел n.

 (г) число n³ - n делится на 3 при всех натуральных значениях числа n.

(д) 1*1! + 2*2! + … + n*n! = (n+1)! – 1 для всех натуральных чисел n.

2.9.

Последовательность натуральных чисел x₁, x₂, … x_n определяется рекуррентной формулой

x₁ = 1 и x_k+1 = x_k / (x_k + 2) при k >= 1.

Вычислите x₂, x₃ и x₄.

Докажите по индукции, что

x_n = 1 / (2ⁿ – 1)

для всех n >= 1.

2.10.

Последовательность натуральных чисел x₁, x₂, … x_n определяется рекуррентной формулой

x₁ = 1, x₂ = 2 и x_k+1 = 2x_k – x_k-1 при k > 1.

Вычислите x₃, x₄ и x₅.

Найдите общую формулу для x_n и докажите её истинность индуктивным методом.