6.1.

(а) У человека есть пять пиджаков, восемь рубашек и семь галстуков. Сколько различных костюмов можно составить из этих предметов?

 (б) У женщины в шкафу висит шесть платьев, пять юбок и три блузки. Сколько разных нарядов она может составить из своей одежды?

 (в) В холодильнике стоит мороженое шести разных наименований. На десерт можно взять одну, две или даже три порции мороженого сразу. Сколько возможностей есть у Вас для различных десертов?

6.2.

(а) Перевертыш — это многозначное число, которое не по¬ меняет своего значения, если все его цифры записать в обратном порядке. Сколько существует шестизначных перевертышей? А сколько семизначных?

 (б) Сколько четырехзначных чисел, не превосходящих 6000, можно составить, используя только нечетные цифры?

(в) Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести символов. Первые два из них — строчные буквы латинского алфавита (всего 26 букв), а оставшиеся четыре могут быть как цифрами, так и строчными буквами. Сколько можно придумать различных паролей?

6.3.

Пусть S — множество четырехзначных чисел, в чьей десятичной записи участвуют цифры: О, 1, 2, 3, и 6, причем 0 на первом месте, естественно, стоять не может.

(а) Какова мощность множества S1

 (б) Сколько чисел из 5 в своей десятичной записи не имеют повторяющихся цифр?

 (в) Как много четных среди чисел пункта (б)?

 (г) Сколько чисел из пункта (б) окажутся больше, чем 4 000?

6.4.

 Вычислите следующие величины:     

(а) Р(7, 2), Р(8, 5), Р(6, 4) и Р(n, n-1);

 (б) С(10, 7), С(9, 2), С(8, 6) и С(n, n-1).

Убедитесь, что С(n, k) = C (n, n-k)

6.5.

(а) Сколько существует возможностей для присуждения первого, второго и третьего мест семнадцати участницам соревнований по икебане?

(б) Комитет из 20 членов избирает председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

(в) Пароль, открывающий доступ к компьютеру, составляется по правилам задачи 6.2 (в). Сколько разных паролей можно написать из неповторяющихся символов?

6.6.

(а) Хоккейная команда насчитывает 18 игроков. Одиннадцать из них входят в основной состав. Подсчитайте количество возможных основных составов.

 (б) Жюри из 5 женщин и 7 мужчин должно быть выбрано из списка в 8 женщин и 11 мужчин. Сколько можно выбрать различных жюри?

 (в) Предстоит выбрать команду четырех игроков в гольф из пяти профессиональных игроков и пяти любителей.

Сколько разных команд может состоять из трех профессионалов и одного любителя?

Сколько команд состоит только из профессионалов или только из любителей?

6.7.

В один из комитетов парламента нужно отобрать трех членов, причем выбирать надо из пяти консерваторов, трех лейбористов и четырех либерал-демократов.

(а) Сколько разных комитетов можно составить?

 (б) Сколько разных комитетов можно составить, если в него должен входить по крайней мере один либерал-демократ?

 (в) Сколько разных комитетов можно составить, если лейбористы и консерваторы не могут быть его членами одновременно?

 (г) Сколько разных комитетов можно составить, если в него должен войти по крайней мере один консерватор и хотя бы один лейборист?

6.8.

В небольшой фирме восемь человек работают на производстве, пятеро — в отделе сбыта, и трое — в бухгалтерии. Для обсуждения новой продукции было решено пригласить на совещание шестерых работающих. Сколькими способами это можно сделать, если

(а) необходимо пригласить по два представителя от каждого отдела;

 (б) необходимо пригласить по крайней мере двоих представителей производства;

 (в) необходимы представители каждого из трех отделов?

6.9.

(а) Ресторан в своем меню предлагает пять различных главных блюд. Каждый из компании в шесть человек заказывает свое главное блюдо. Сколько разных заказов может получить официант?

 (б) Цветочница продает розы четырех разных сортов. Сколь¬ ко разных букетов можно составить из дюжины роз?

6.10. Вы покупаете пять рождественских открыток в магазине, который может предложить четыре разных типа приглянувшихся Вам открыток.

(а) Как много наборов из пяти открыток Вы можете купить?

 (б) Сколько наборов можно составить, если ограничиться только двумя типами открыток из четырех, но купить все равно пять открыток?

6.11.

Вот восьмая строка треугольника Паскаля:

1 7 21 35 35 21 7 1.

(а) Найдите девятую и десятую его строки.

 (б) Проверьте, что если а, b и с — три последовательных числа в восьмой строке треугольника Паскаля, то одно из чисел десятой строки можно получить как сумму: а + 2b + с.

 (в) Воспользуйтесь формулой Паскаля для доказательства равенства:

C(n, к)+ 2С(n, k+1) + С(n, k+2) = С(n+2, k+2)

при 0 ≤ k ≤ n-2.

(Эта формула обобщает факт (б) на весь треугольник Паскаля.)

6.12.

(а) Положив в биноме Ньютона а = Ь = 1, покажите, что для любого п = 0,1,2,... справедлива формула:

C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ

Выведите отсюда, что в множестве 5 из n элементов содержится ровно 2ⁿ различных подмножеств. (Указание: определите сначала, сколько подмножеств мощности к содержится в S.)

 (б) Покажите, что

C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) - … + (-1)ⁿC(n, n) = 0

6.13.

(а) Сколько разных «слов» можно получить из слова «АБРАКАДАБРА»?

 (б) Сколько из них начинаются с буквы «К»?

 (в) В скольких из них обе буквы «Б» стоят рядом?

6.14.

(а) Найдите коэффициент при a³b⁵ после раскрытия скобок в выражении (a+b)⁸.

 (б) Найдите коэффициент при xy³z⁴ после раскрытия скобок в выражении (x+y+z)⁸.

 (в) Найдите коэффициент при xy²z после раскрытия скобок в выражении (x + 2y + z - 1)⁵.