3.1.

(а) Перечислите элементы следующих множеств:

A = {x: x ∈ Z и 10 ≤ x ≤ 17};

B = {x: x ∈ Z и x² < 24};

C = {x: x ∈ Z и 6x² + x – 1 = 0};

D = {x: x ∈ R и 6x² + x – 1 = 0};

Указание: 6x² + x – 1 = (3x-1)(2x+1).

(б) Определите с помощью предикатов следующие множе­ства:

S = {2, 5, 8, 11, … };

T = {1, 1/3, 1/7, 1/15, …}.

3.2.

В качестве универсального множества данной задачи зафиксируем U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Пусть A = {p, q, r, s}, B = {r, t, v} и C = {p, s, t, u}. Найдите элементы следующих множеств:

3.3.

Рассмотрим подмножества стандартного словаря русского языка.

А = {х: x — слово, стоящее перед «собака»};

В = {х : x — слово, стоящее после «кошка»};

С = {x : x — слово, содержащее двойную букву}.

Выясните, какие из следующих высказываний истинны:

Опишите на словах элементы следующих множеств:

3.4.

Рассмотрим подмножества целых чисел:

 (а) Используя операции на множествах, выразите следую­щие подмножества через A, B и С:

 (б) Запишите определение множества А \ В в предикатах.

3.5.

Нарисуйте серию диаграмм Венна, иллюстрирующих закон дистрибутивности:

Докажите, что закон действительно справедлив для любых множеств A, B и С.

3.6.

Нарисуйте серию диаграмм Венна, иллюстрирующих следующее тождество:

Покажите на примере, что множество

не обяза­тельно совпадает с множеством

3.7.

Докажите с помощью законов алгебры множеств следующие тождества:

3.8.

Определим операцию «*» по формуле:

Изобразите на диаграмме Венна множество А * В. С помо­щью законов алгебры множеств докажите тождества:

3.9.

(а) Покажите с помощью диаграмм Венна, что любые множества А, B и С удовлетворяют соотношению:

(б) Студенты первого курса, изучающие информатику в уни­верситете, могут посещать и дополнительные дисципли­ны. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, пятеро изучали бухгалтерию и туризм, а трое — туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу три дополни­ тельных курса. Сколько студентов посещали по крайней мере один дополнительный курс? Сколько из них были увлечены только туризмом?

3.10.

Что можно сказать о непустых множествах A и В, если имеет место равенство А х В = В х А?

Непустые множества А, В и С удовлетворяют соотношению А x В = А x С. Следует ли отсюда, что В = С? Объясните свой ответ.

3.11.

Пусть А, В и С — произвольные множества. Докажите, что

3.12.

Показательным множеством P(A) называется множество, элементами которого являются подмножества множества А.

Иначе говоря

(а) Найдите P(A), если A = {1, 2, 3}.

 (б) Докажите, что  для любых множеств А и В.

 (в) Покажите на примере, что  не всегда совпадает с .

3.13.

Пусть и = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — универсальное множество. Выпишите характеристические векторы подмножеств:

А = {1, 2, 4, 5} и В = {3, 5}.

Найдите характеристические векторы подмножеств   и  после чего перечислите их элементы.